تقریر درس:

درباره توابع جزئاً تعریف شده نکته‌ای به نظر رسید که توضیحش مفید است.در تابع جزئی باید ببینیم این «جزء» به چه چیزی می‌خورد.
در هر تابعی پنج چیز داریم:
1. مجموعه ورودیها (دامنه)
2. مجموعه خروجی‌ها (بُرد)
3. شخص ورودی
4. شخص خروجی  (که این دوتا را زوجهای مرتب می‌گویند که هر شخص ورودی، یک شخص خروجی به خودش اختصاص می‌دهد که تابع اوست و اساساً تابع بودنِ تابع، به همین ورودی و خروجی است.
5. عمل (هر تابعی قوامش به آن عملی است که روی ورودی انجام می‌دهد و خروجی از آن درمی‌آید)
حالا وقتی می‌گوییم تابع جزء، این جزء به هریک از اینها می‌تواند بخورد. بر این اساس به نظر می‌رسد سه معنا از تابع جزء می‌تواند باشد:
1. جزء به این معنا که مجموعه خروجی‌ها زیرمجموعه‌ای از مجموعه ورودیها باشد. مثلا تابع اعداد کوچکتر از 5 (ورودیش مجموعه اعداد است و خروجی‌اش زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد است)
2. جزء به معنای پاره‌ای از کل، نه زیرمجموعه. مثلا تابع جزء صحیحِ اعداد (مثلا تابع جزء صحیح ۳٫۳۴ [= سه ممیز سی و چهار]  عدد 3 است) یا تابع جزء اعشاری (در قبال تابع سقف) و ... . یعنی شخص ورودی ما یک کل است و خروجی ما یک جزء از این کل است نه زیرمجموعه‌ای از یک مجموعه. مثلا تابع «زبان انسان». ورودی در اینجا یک فرد انسان است و خروجی زبان اوست.
3. توابع جزئا تعریف شده. یعنی با ارائه یک تعریف، کاری کنیم که فقط بخشی از دامنه به عنوان ورودی باقی بماند، یعنی ورودی آن زیرمجموعه‌ای از ورودیهایی باشد که در حالت عادی می‌توانست ورودی محسوب شود. به تعبیر دیگر، با تعریف ما از مجموعه ورودی، یک زیرمجموعه می‌گیریم و این زیرمجموعه را ورودی قرار می‌دهیم. در ص137 کتاب ایشان این بحث آمده است. پس بچه* دامنه‌اش بچه نیست، دامنه‌اش انسان بوده که با تعریف بچه* در این دامنه اجازه ورود به هر انسانی نداده و گفته که بچه های زیر 4 سال می‌توانند ورودی تابع قرار گیرند و افراد بالای 7 سال نمی‌توانند ورودی باشند.
برای اینکه مثال بهتر شود خوب است مثال را در جایی پیاده کنیم که خروجیها، مباین از ورودیها باشد. مثلا وقتی بگوییم برای انسان‌هایی که زیر 4 سال هستند صندلی در این سالن گذاشته شده است و برای کسانی که بالای هفت سال هستند، گذاشته نشده است. الان ورودی انسان است، اما خروجی صندلی است. در اینجا با تعریف ما، ورودی زیرمجموعه‌ای از انسانها شد که این زیرمجموعه دو حالت قطعی دارد (زیر 4 سال حتما صندلی دارد و بالای 7 سال حتما صندلی ندارد) و یک موارد حاشیه‌ای دارد (بین 4 تا 7 سال).
برای اینکه معلوم شود که قید بالای 7 سال در قسم سوم، قید زایدی نیست بگذارید مثال دیگری بزنیم.
مثلا بگوییم در این سالن صندلی هست برای انسانهایی که یا بچه زیر 4 سال هستند یا شاعرند.
یعنی ما دوتا حیثیت را در تعریف خود وارد کرده ایم تا به خروجی برسیم. این مثال کاملا ممکن است.
حالا همین مثال، شق دومش را تغییر دهیم:
در این سالن صندلی هست برای انسانهایی که بچه زیر 4 سال هستند و صندلی نیست برای انسان‌هایی که شاعر هستند، حالا به جای (صندلی نیست برای شاعر) بگویید (صندلی نیست برای بالای هفت سال) و این مثال زمینه‌ساز سوالات و فرض‌های جدید است که بحث جداگانه می‌طلبد.