خلاصه‌ای از مباحث و نکات طرح شده در جلسه به همراه متون مربوطه:

تقریر درس:

قبل از شروع بحث خوب است اشاره کنم که یکی از دوستان زحمت کشیدند و اصل رساله آقای حسینی (نویسنده مقاله) را در اختیار قرار دادند و آن بحثی که در جلسه قبل داشتیم که منظور ایشان از استثنای «احتمالا به جز ریاضیات»‌چه بوده، با مطالعه رساله معلوم می‌شود که ایشان نظر قطعی‌شان این است که در ریاضیات ابهام راه ندارد.

* اما ادامه متن:
«ويژگي هاي معمول عبارات مبهم»
در بالا ابهام را با مثال هايي معرفي كرديم . عباراتي كه در زبان، مستعد پارادوكس خرمن هستند، ويژگيهاي بسيار متعدد و متنوعي دارند. در اين قسمت براي تدقيق بيشتر ابهام، سعي می‌كنيم برخي از اين ويژگي‌ها را برشمريم. فعلاً به توضيحات شهودي اكتفا خواهيم كرد. اما صورت بندي برخي از اين ويژگي‌ها در ادامه بيان خواهد شد.
1. رواداري. محمول «خرمن گندم» را در نظر بگيريد. نيز دو انباشت گندم در نظربگيريد كه اختلاف تعداد گندم هاي آنها يك دانه باشد. در اين صورت اگر يكي خرمني از گندم باشد، ديگري نيز هست و اگر يكي خرمن نباشد، ديگري نيز نيست.
در اين وضع اصطلاحاً گفته می‌شود محمول «خرمن گندم» نسبت به اختلاف يك دانه گندم روادار (Tolerant) است. براي محمول «قدبلند» نيز وضع مشابه است. اگر دوفرد اختلاف قد آنها يك ميليمتر باشد، هركدام قدبلند است، اگر و تنها اگر ديگري قدبلند باشد. به اصطلاح «قدبلند» نسبت به اختلاف قد يك ميليمتر روادار است.
رواداري را می‌توان براي مثال هاي ديگر نيز به طريق مشابه تعريف كرد.»
رواداری یعنی دو مصداق با اینکه متفاوت باشند اما نسبت به صدق یک مفهوم بر آنها هیچ تفاوتی نکنند. اگر الف مصداق این محمول است، ب هم که قطعا با الف متفاوت است قطعا مصداق همین محمول است و این تفاوت مانع از صدق آن محمول بر هیچیک از آنها نمی‌شود.
[سوال و جوابی نسبتا طولانی مطرح شد درباره اینکه آیا خود رواداری در برخی عرصه‌ها متناسب با زمینه آن، مبهم نیست (که معلوم نیست واقعا روادار هست یا نه) مثلا خود مفهوم بلندی. در پاسخ اولا بیان شد که باید بین ابهام مربوط به پارادوکس خرمن با ابهامهای دیگر ناشی از زبان طبیعی تفکیک کنیم و ثانیا توضیحی داده شد که متاسفانه در منطق جدید در مقام مثالها بی‌دقتی‌هایی مشاهده می‌شود. مثل مثال معروف «سقراط منطق‌دان است». مثلا «قد بلند» دو مفهوم است و یک ترکیب ساخته و برای مثال تک محمولی (مثل هوشیار یا ایستاده) مناسب نیست که در ص 12 نکاتی در این زمینه‌ها مورد بحث قرار خواهد گرفت)

* ادامه متن:
«2.موارد واضح و موارد حاشيه اي. «خرمن گندم» را در نظر بگيريد. انباشت هايي از گندم هستند كه به وضوح خرمني از گندمند؛ مثلاً انباشت با صدهزار دانة گندم درمثال بالا. نيز انباشتهايي از گندم هستند كه به وضوح خرمن گندم نيستند؛ مثلاً يكدانه گندم. به ترتيب به اين انباشت‌ها مورد واضح مثبت(Positive Paradigm Case) و مورد واضح منفي (Negative Paradigm Case) براي «خرمن گندم» گفته ميشود .
تعميم اين وضع به مثال هاي ديگر ساده است . اما انباشت هايي از گندم هست كه نمي توان دربارة خرمن بودن يا نبودن آنها قضاوتي كرد؛ نه می‌توان گفت كه خرمن گندم هستند و نه می‌توان گفت كه خرمن گندم نيستند. افرادي در جامعة ايراني هستند كه دربارة قدبلندي آنها نمي توان نظر داد؛ يعني نه می‌توان گفت قدبلند هستند و نهمي توان گفت قدبلند نيستند. مشابه اين وضع براي ساير مثال‌ها به وضوح رخ ميدهد. در اين وضع، اصطلاحاً گفته می‌شود، عبارت «خرمن گندم» (يا «قدبلند» و...) داراي مورد حاشيه اي (Borderline Case) است. به بيان ديگر، انباشت گندمي كه نه می‌توان به آن خرمن گفت و نه می‌توان گفت خرمن نيست، موردي حاشيه اي براي عبارت زباني «خرمن گندم» محسوب می‌شود. براي بقية مثال‌ها نيز وضع مشابه است.»
ایشان در رساله‌شان توضیح داده‌اند در اوایل قرن بیستم برای بحث‌کنندگان کاملا واضح بود که این موارد حاشیه‌ای ارزش سوم هستند یعنی یک اموری قطعا خرمن‌اند، یک اموری قطعا خرمن نیستند و یک اموری قطعا نه خرمن‌اند و نه لاخرمن‌اند. (البته ایشان در رساله بیشتر مثال  لاغر بودن و نبودن را مطرح می‌کنند)

* ادامه متن:
«3. مرز مغشوش. اين بار از يك استعاره بهره می‌گيريم. صفحه اي را در نظر بگيريدكه در مقابل يك منبع نور قرار گرفته است. اگر صفحة ديگري بين منبع نور و صفحة اول در نظر بگيريم به طوري كه روي آن سايه تشكيل شود، خواهيم ديد كه سايه اي كه تشكيل می‌شود داراي مرز مغشوش است، يا به عبارتي مرز دقيقي ندارد. حال در اين مثال، صفحه اي را كه سايه روي آن تشكيل می‌شود، اشياء مورد بحث (انباشت هاي گندم، افرادجامعه ايران يا...) و صفحه اي را كه عامل توليد سايه است، عبارت زباني مورد نظر («خرمن گندم»، «قدبلند» يا...) فرض كنيد. در اين استعاره، سايه اي كه تشكيل می‌شود، همان دايرة مصاديق آن عبارت زباني (خرمن هاي گندم، افراد قدبلند يا...) خواهد بود. با اين استعاره می‌خواهيم ويژگي ديگري را به عبارات زباني مورد بحث نسبت دهيم: داشتن مرز مغشوش (Blurred Boundary). منظور از داشتن مرز مغشوش اين است كه دايرةمصاديق «قدبلند»، مثلاً، مانند ساية تشكيل شده در استعارة بالا است.»
یکی از مطالبی که می‌توانست نظریه موجی نور را تایید کند همین مرز مغشوش بود.
سوال: آیا مرز مغشوش همان موارد حاشیه‌ای نیست؟
پاسخ: خیر. موارد حاشیه‌ای قطعا نه این طرف است و نه آن طرف؛ اما مرز مغشوش، بهره‌ای از یک طرف را دارد. مثلا در مورد حاشیه‌ای شخصی است که می‌دانم نه قد بلند است و نه قدکوتاه، اما در مرز مغشوش، شخصی را در نظر بگیرید که مقداری قدبلند است اما از عموم قدبلندها کوتاهتر است. البته توافق بر تعریف دقیق اینها به این نحو نیست، و توضیح بیشتر خواهد آمد.
خودشان در پاورقی چنین می‌گویند:
«1. ويژگي هاي مرز مغشوش و موارد حاشـيه اي معـادل نيسـتند. مـثلاً توابـع جزئـاً تعريـف شـده روي يـك مجموعه، داراي موارد حاشيه اي هستند ولي مرز مغشوش ندارند. بحث دقيق تر در اين باره از حيطة ايـن نوشتار خارج است. از داور ناشناسي كه اين نكته را تذكّر دادند، تشكر می‌كنم.» (معادل بودن به معنای تساوق در مصداق است هرچند دو موضوع بحث هستند، و ایشان می‌گویند عام و خاص مطلق هستند، و سوال اینکه اساساً معادل موضوعی هم باشند هست، بسته به اینکه نامعین بودن در موارد حاشیه‌ای را چگونه معنا کنیم.)
توابع جزئا تعریف شده روی یک مجموعه، ظاهرا باید دو تابع را در نظر بگیریم تا بتوان مرز مغشوش و موارد حاشیه‌ای را نشان داد و با یک تابع جزیی نمی‌توان نشان داد.
مثلا الان مجموعه دانش‌آموزان یک کلاس را در نظر بگیریم. بعد دو تابع جزیی در آن: دانش‌آموزانی که نمره 18 گرفته‌اند؛ و دانش‌آموزانی که نمره 17 گرفته‌اند. این دو تابع مرز مغشوش ندارند و مرز دقیق دارند اما در عین حال مورد حاشیه‌ای هم دارند، یعنی دانش‌آموزانی که نه 17 گرفته‌اند و نه 18.
سوال: غالبا در موارد حاشیه‌ای دو طرف حالت سلب و ایجاب داشتند و لذا تعبیر «مورد واضح منفی» و «مورد واضح مثبت» به میان می‌آمد. بر این اساس شاید بهتر باشد مثال را این طور تغییر دهیم که دانش‌آموزان با نمره بالای 18 و دانش‌آموزان با نمره زیر 18، که اینها مرز مغشوش ندارند اما مورد حاشیه‌ای‌شان دانش‌آموزان با نمره 18 است.
[سپس بحثی در گرفت که آیا واقعا منظور نویسنده از تابع جزیی همین تلقی دوتا تابع در یک مجموعه بوده یا نه تابعی در هر مجموعه‌ای. ظاهر عبارت ایشان با دومی سازگارتر است اما مثالی برای آن به ذهن نمی‌رسد که چگونه ما فقط یک تابع جزیی را در نظر بگیریم و بعد صحبت از موارد حاشیه‌ای و مرز مغشوش داشته باشیم.] (مثالهایی را در کتاب اصلی (پایان‌نامه) ذکر کرده‌اند که در جلسه بعد بحث می‌شود، ص137، بند3-2-6